تعمیم مربعات لاتین و مجموعه های تعیین کننده آنها

مطالعه در مورد مربع های لاتین سابقه ای طولانی در ترکیبیات دارد. مراجعی در رابطه با مربع های لاتین می باشند, مربع های لاتین ارتباط جالب توجهی با مفاهیم مختلف ترکیبیات دارند. به ویژه مسئله های زیادی از مربع های لاتین به طور طبیعی به مسائلی از نظریه گراف مرتبط هستند ‎. این پایان نامه بر روی اندازه مجموعه های بحرانی در مربع های لاتین تعمیم یافته (رنگ آمیزی گراف ها) تمرکز دارد.یک مربع لاتین تعمیم یافته از نوع ‎(n,k)‎ یک آرایه ‎n×n‎ از نمادهای ‎0,1‎,...,‎k-1‎ است, به طوری که هر یک از این نمادها حداکثر یک بار در هر سطر و هر ستون ظاهر شوند. در فصل ‎?‎ تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز را بیان می نمائیم. فرض کنید ‎d(n,k)‎ اندازه مینیمم مجموعه ‎s‎ از درایه های داده شده از یک آرایه ‎n×n‎ را نشان دهد, به طوری که یک توسیع منحصر بفرد از ‎s‎ به یک مربع لاتین تعمیم یافته از نوع ‎(n,k)‎ وجود داشته باشد. مجموعه همه مربع های لاتین تعمیم یافته از نوع ‎ (n,k) ‎ را با ‎ l(n,k) ‎ نشان می دهند. برای ‎k>2n-1‎ روشن است که ‎d(n,k)=n^2‎. %اگر چه برای موارد ‎$nleqslant k leqslant 2n-1$‎ بدیهی نیست. علاوه بر این, برای ‎$nleqslant k < 2n-2$‎ مقدار ‎$d(n,k)$‎ معلوم نیست. مهدیان و محمودیان در مورد ‎$d(n,2n-1)$‎ بحث کردند و برای ‎$n$‎های زوج رابطه ‎$d(n,2n-1)=n^2-n$‎ و برای ‎$n$‎های فرد بزرگ تر از ‎?‎ رابطه ‎$d(n,2n-1)=n^2-n+1$‎ را ثابت کردند ‎cite{m16}‎. در فصل ‎?‎ برای ‎$n$‎های زوج رابطه ‎$ d(n,2n-1)=n^2-n $‎ را با ارائه سـاختار معینی نشــان مــی دهیم و از این ســاختار در روند تـعیین ‎$d(n,2n-2)$‎ اسـتفاده مـی کنیم. سـپس ویژگی هـایی را بــرای اثبات رابطه ‎$d(n,2n-2)leqslant n^2-lfloor frac{8n}{5} floor$‎ می آوریم و هم چنین تساوی کران فوق را برای ‎$n$‎های مضرب ‎??‎ بررسی می کنیم. در فصل ‎?‎ ابتدا ساختاری از یک مجموعه بحرانی با اندازه ‎$ lfloor frac{n^2}{4} floor $‎ در مربع های لاتین چرخشی از مرتبه ‎$ n $‎ ارائه می دهیم و بعد از آن برهان دیگری برای اثبات رابطه ‎$ d(n,2n-1)=n^2-n+1 $‎ برای ‎$ n $‎های فرد می آوریم. هم چنین یک ساختار جدید که برای ‎$n$‎های فرد رابطه ‎$ d(n,2n-1)=n^2-n+1 $‎ را نشان می دهد, بیان می کنیم و از این ساختار در روند تعیین یک مجموعه بحرانی در ‎$ l(n,2n-2) $‎ استفاده می نمائیم. در فصل ‎?‎ تعمیمی از ضرب مربع های لاتین را به مربع های لاتین تعمیم یافته خواهیم داشت و با به کار بردن این ضرب روی ساختارهای به دست آمده مجموعه های بحرانی جدید در مربع های لاتین تعمیم یافته را به دست می آوریم.